ラッセルのパラドックス Russell's paradox

ここから生まれた立場

数学を述語論理に還元する

同一性や数を論理学で表現する

特に数

「トキは2羽いる」と「トキは鳥である」

「トキは鳥である」

すべてのxについて、xがトキであるならば、xは鳥である

「トキが2羽いる」は同じ方法では不可能

「2羽いる」という述語はトキという述語に適用されなくてはいけない

述語に対する述語、2階の述語

「2羽」は鳥の集合に対する性質、「鳥」はx対する性質

2 -> 要素が2である集合の集合

個体を表す表現をタイプ0とする。タイプ0の表現に対する述語をタイプ1とする。....

彼は優しい

彼 タイプ1

優しい タイプ2

「優しい」は愛すべき性格だ

愛すべき性格だタイプ 3

ある述語が述語づける相手は必ずその述語よりタイプが低い

自己言及の禁止

無限集合においては「全体は部分より大きい」という常識が通用しない

公理系は単なる記号操作のシステムなので無限の概念はない

矛盾の起こらない公理系を整備する

-> メタ数学

「有限の立場」である構成主義的アプローチと無矛盾なことを証明する

無限に対する態度

無限の総体がすでに存在している

ブラウワーはこの見方が破たんしていると指摘

無限というのは1つ1つ数えていく果てなき作業の先にある可能性

四則演算などは有限の範囲で認めているが無限には認めていない

無限には数学的帰納法でアプローチ